设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2，和任意λ∈(0，1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数。若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。如果>=换成<=就是凹函数。
函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的一个重要性质，其应用也是多方面的。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0；f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指的函数图像形状，而不是指函数的性质。在国外，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。
